Entier mystère et théorème de Gauss - Corrigé

Énoncé

Soit \(n\) un entier compris entre  \(1000\) et \(2000\) . On sait que la division euclidienne de \(n\) par \(98\) donne pour reste \(31\) , et la division euclidienne de  \(n\) par \(252\) donne aussi pour reste \(31\) . Déterminer \(n\) .

Solution

D'après les hypothèses de l'énoncé, il existe \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) tels que \(n=98q+31\) et \(n=252q'+31\)  On en déduit que \(n-31=98q\) et \(n-31=252q'\) , et donc  \(98q=252q'\) , c'est-à-dire  \(7q=18q'\) .

Ainsi, \(7\) divise \(18q'\) avec \(7\) et \(18\) premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, \(7\) divise \(q'\) . Cela signifie que \(q'\) est un multiple de \(7\) .

Pour trouver ce multiple de \(7\) , on peut écrire \(q'=7k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et remarquer qu'en reprenant les hypothèses précédentes avec la donnée \(1000 \leqslant n \leqslant 2\,000\) , on a :

\(\begin{align*}1\,000 \leqslant n \leqslant 2\,000& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 1\,000 \leqslant 252q'+31 \leqslant 2\,000\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 969 \leqslant 252q' \leqslant 1\,969\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 969 \leqslant 252 \times 7k \leqslant 1\,969\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{969}{252 \times 7} \leqslant k \leqslant \frac{1\,969}{252 \times 7}\end{align*}\)  

avec \(\dfrac{969}{252 \times 7} \approx 0,5>0\) et \(\dfrac{1\,969}{252 \times 7} \approx 1,1<2\) ,

donc seul le cas \(k=1\) convient.

On a donc \(q'=7 \times 1=7\) et \(n=252q'+31=252 \times 7+31=1\,795\) .